1.1 假设检验的核心概念与逻辑框架

我们做统计推断时，总在尝试用样本数据回答一个关键问题：观察到的差异是真实存在的，还是随机波动的结果？假设检验就像法庭上的陪审团，需要根据证据（数据）对原假设（被告无罪）和备择假设（被告有罪）作出裁决。

原假设H0代表"没有变化"或"无效果"的状态，比如"新药无效"、"生产线合格率达标"。备择假设H1则是我们试图证明的相反主张。这种二元对立的框架下，检验的本质是判断数据是否提供了足够强的证据来推翻H0。

真实案例中，工厂质检员判断产品重量是否符合标准时，H0设定为"平均重量=500g"，H1可能是"平均重量≠500g"。这里隐藏着两类风险：误判合格品为次品（I类错误），或漏放次品流入市场（II类错误）。理解这种风险平衡，是掌握假设检验精髓的关键。

1.2 假设检验五步法详解

设定假设时，方向性选择影响检验效能。某电商平台验证"新界面提升转化率"，若仅关注正向变化，应采用右侧检验：H0:μ≤2%，H1:μ>2%。这种单侧检验比双侧检验更容易检测到指定方向的差异。

检验统计量的计算体现数据与原假设的偏离程度。以产品重量检验为例，当抽样测得平均重量495g，标准差20g，样本量30时，z值计算公式(495-500)/(20/√30)快速得出偏离程度。这个标准化过程让不同量纲的数据具有可比性。

决策阶段常使用临界值法或p值法。某医药公司进行药品有效性检验时，将α设为0.01，对应z临界值2.33。当计算得z=2.5时，拒绝域在分布曲线右尾的1%区域，此时数据落在拒绝域，结论具有统计学意义。

1.3 显著性水平与p值的实际解读

α=0.05的设定源自Fisher的经典研究，但在实际应用中需要弹性调整。航空航天零件检测可能采用α=0.01，因为I类错误（合格品误判）会导致重大损失。临床药物试验可能放宽到α=0.10，避免错过潜在有效药物。

p值常被误解为"原假设为真的概率"。实际它是"假设H0成立时，观察到当前或更极端数据的概率"。某次检验得到p=0.03，意味着如果H0正确，仅有3%的概率出现这种程度的差异。但p值大小不能直接等同于实际重要性，需结合效应量判断。

1.4 单样本检验实例演示

某矿泉水厂声称瓶装水容量500ml，质监部门随机抽取10瓶测得平均容量498ml，标准差5ml。建立假设：H0:μ=500 vs H1:μ<500（左侧检验）。选用t检验（n<30且σ未知），计算t=(498-500)/(5/√10)=-1.26，自由度为9。

查t分布表，α=0.05对应临界值-1.833。实际t值未超过临界值，无法拒绝H0。但p值约0.12，说明有12%的概率在H0成立时观察到这种差异。虽然统计上不显著，但2ml的差异对饮用水行业可能具有实际意义，此时需要结合业务标准判断。

2.1 z检验原理及适用条件

在车间质量控制的场景中，z检验像是精密的电子秤。当样本量超过30或已知总体标准差时，这个工具能给出最准确的判断。比如某饮料厂每天生产百万瓶产品，质量总监每月抽取100瓶进行容量检测——这正是z检验的舞台，因为大样本量让中心极限定理发挥作用。

数学原理上，z值计算依赖总体标准差σ。当工厂校准设备时，历史数据积累的σ=5ml就像已知的标尺。检验统计量z=(x̄-μ)/(σ/√n)的分母用总体标准差，这使计算结果稳定可靠。但现实往往更复杂：某跨国零售企业分析全球百家门店销售数据时，虽样本量大但因各地市场差异无法获得精准的σ，这时需要调整策略。

2.2 t检验特点与自由度关系

临床研究中，新药试验招募20名患者是典型的小样本场景。这时t检验如同放大镜，能捕捉细微变化。自由度的概念在这里至关重要：n-1不仅是公式中的机械调整，更是对样本代表性的校正。自由度越大，t分布曲线越接近正态分布，这个特性在分析10人小组的减肥效果时表现得尤为明显。

计算实践中，t=(x̄-μ)/(s/√n)中的样本标准差s带来更多波动性。某教育机构测试新教学方法，5个班级的成绩数据计算出s=15分，这个值本身就有抽样误差。当自由度从4增加到29时，临界t值从2.776降到2.045，这种变化直接影响检验结论的严格程度。

2.3 两类检验的数学公式对比

公式差异表面看只是σ与s的区别，实则影响深远。假设某电商分析A/B测试数据，两组各50个样本：若用历史σ=10%计算z值，可能得到显著结论；改用样本s=12%计算t值时，可能因分母增大而降低显著性。这种差异在样本量为15时会更戏剧化——t检验的保守特性在此显现。

计算步骤对比揭示本质区别：z检验假设信息完备，t检验承认知识缺陷。当工程师检测新型合金强度时，未知的总体方差迫使他们选择t检验，虽然计算更复杂，但结果更贴近现实。这种取舍在样本量30的临界点附近尤为微妙，此时两种检验的结果可能产生分歧。

2.4 应用场景决策树

选择检验方法如同医生诊断：先测体温（样本量），再听诊（方差信息）。决策树的第一个分叉是样本量——30是个经验阈值，但并非绝对。某互联网公司分析用户停留时间，样本28个但数据呈强正态分布，仍可使用z检验；相反，45个样本但存在极端值，可能需要t检验。

流程图的下个节点是方差知晓情况。银行核对交易金额时，若采用央行公布的行业σ，可以直接使用z检验；初创公司分析用户增长数据时，没有历史参照就必须启动t检验。当遇到模糊地带时，保守选择t检验往往是更安全的策略。

2.5 实战案例解析

某制药公司测试退烧药，30名患者随机分组。实验组平均退烧时间比对照组快1.2小时，s=0.8小时。选择双样本t检验，自由度为28，计算得t=3.2大于临界值2.048，证实药效显著。这个案例展示了小样本场景下t检验的灵敏度。

相反，某手机厂商调查用户满意度，在10个城市各收集100份问卷。分析新老机型评分差异时，虽然总体σ未知，但700份问卷构成的大样本支持使用z检验。计算得z=2.33对应p=0.01，强有力的证据说明体验提升。这两个案例对比彰显样本量对方法选择的关键影响。